Для нахождения экстремумов функции $f(x)=x^4-4x^3+6x^2$ нужно следовать следующим шагам:

Общий план решения задачи на экстремум

Нахождение производной:

Вычислить первую производную $f^{\prime }(x)$.

Поиск критических точек:

Установить уравнение $f^{\prime }(x)=0$ и решить его, чтобы найти критические точки.

ВторойDerivative Test $тествторойпроизводной$:

Вычислить вторую производную $f^{\prime \prime }(x)$ для критических точек.Определить, является ли каждая критическая точка минимумом, максимумом или ни тем, ни другим:
Если ( f''(x) > 0 ), то в этой точке локальный минимум.Если ( f''(x) < 0 ), то в этой точке локальный максимум.Если $f^{\prime \prime }(x)=0$, тест не определен, нужно применять другие методы $например,тестпервогопроизводного$.

Определение границ области:

Если необходимо, проанализировать поведение функции на границах рассматриваемого интервала $например,если(x)ограничен$ для поиска глобальных экстремумов.

Сравнение значений:

Найти значения функции $f(x)$ в критических точках и на границах области.Сравнить эти значения, чтобы определить, какие из них являются глобальными минимумами и максимумами.Проверка наличия локальных и глобальных экстремумов

Локальные экстремумы: Проверяются с помощью первой и второй производной. Если функция имеет критические точки, где первую производную равна нулю, необходимо анализировать вторую производную, чтобы установить характер этих критических точек.

Глобальные экстремумы: Определяются путем сравнения значений функции в найденных локальных экстремумах и на границах интервала. Это позволяет понять, какие из них являются наибольшими или наименьшими значениями функции на данном отрезке.

Для полноты анализа также можно использовать дополнительные инструменты, такие как графический метод, чтобы визуально оценить поведение функции.