Утверждение: если функция $f(x)$ имеет нулевую производную на интервале $(a,b)$, то она постоянна на этом интервале.

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая имеет нулевую производную на интервале $(a,b)$. Это означает, что для любого $x\in (a,b)$ выполняется $f^{\prime }(x)=0$.

По определению производной, мы можем записать:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$$

Это ограничение говорит нам о том, что для $h$ достаточно малых значения разность $f(x+h)-f(x)$ деленная на $h$ стремится к нулю.

Теперь, поскольку предел равен нулю, это означает, что для достаточно малых $h$ $где(x+h)по-прежнемунаходитсявинтервале((a,b))$, величина $f(x+h)-f(x)$ близка к нулю. То есть:

$$f(x+h)\approx f(x)\text{для малых}h$$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — любые точки в интервале $(a,b)$. Если ( x_1 < x_2 ), мы можем разбить отрезок между этими двумя точками на $n$ частей и рассмотреть промежуточные точки. Выберем $x_i$ так, что ( x_1 < xi < x{i+1} < x_2 ) и применим определение о нулевой производной к каждой из этих точек.

Так как производная равна нулю на всех этих промежуточных точках, мы имеем:

$$f(x_2)-f(x<em>1)=\sum </em>{i=1}^n(f(x_{i+1})-f(x_i))=0$$

Поскольку выбор $x_1$ и $x_2$ был произвольным, мы получаем, что $f(x_1)$ и $f(x_2)$ равны, то есть $f(x)$ постоянна на $(a,b)$.

Условия на производную: Утверждение справедливо, если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$. Следует отметить, что если функция не является непрерывной, то наличие нулевых производных не гарантирует постоянства.

Континуума: Если рассматривать более общие области, например в случае функций с разбросанными точками разрыва, нужно дополнительно анализировать каждый отдельный случай.

Обобщение на многомерные пространства: В многомерном пространстве аналогично можно сказать, что если градиент функции равен нулю в некоторой области, то функция постоянна в этой области, при условии, что она дифференцируема.

Следовательно, сделав вышеуказанные уточнения, мы можем утверждать, что если функция $f(x)$ имеет нулевую производную на интервале $(a,b)$ и непрерывная, то она постоянна на этом интервале.