Для вычисления интеграла

$$I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx$$

можно использовать метод интегрирования по частям. Этот метод эффективен, поскольку позволяет преобразовать интеграл в более простую или известную форму.

Выбираем $u=\ln (1+x)$ и $dv=\frac{1}{x}dx$. Тогда необходимо будет вычислить производную $du$ и интеграл $v$:

$$du=\frac{1}{1+x}dx\text{и}v=\ln (x).$$

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

Тогда

$$I={\left[\ln (1+x)\ln (x)\right]}_0^1-{\int }_0^1\ln (x)\cdot \frac{1}{1+x}dx.$$

Теперь вычислим граничные значения:

При $x=1$: $\ln (1+1)\ln (1)=\ln (2)\cdot 0=0$;При $x\to 0$: $\ln (1+0)\ln (0)\to 0\cdot (-\infty )$. Это выражение требует более внимательного анализа. На самом деле, $\ln (0)$ дает бесконечность, но в контексте предела можно показать, что этот предел стремится к 0.

Таким образом, крайние значения ${\left[\ln (1+x)\ln (x)\right]}_0^1=0-0=0$.

Таким образом, интеграл становится:

$$I=0-{\int }_0^1\frac{\ln (x)}{1+x}dx.$$

Теперь остаётся вычислить интеграл ${\int }_0^1\frac{\ln (x)}{1+x}dx$. Этот интеграл можно решить с помощью подстановки или численных методов, обладая определённой симметрией, или, в частности, можно обратить внимание на известные результаты этого интеграла.

Кроме метода интегрирования по частям, эффективным способом нахождения значения интеграла является использование разложения функции $\ln (1+x)$ в ряд Тейлора:

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$$

Подставив это разложение в интеграл, получим:

$$I={\int }_0^1\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots \right)\frac{1}{x}dx.$$

Такой подход также позволяет вычислить интеграл через сумму простых интегралов:

$$I={\int }_0^1\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots \right)dx.$$

Каждый из этих интегралов можно решить по простым правилам вычисления определённых интегралов, что облегчает отыскание значения исходного интеграла.