Чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24 и 25 является прямоугольным, можно использовать несколько подходов.

1. Алгебраический подход $теоремаПифагора$

Согласно теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным, если квадрат длины самой длинной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Обозначим стороны треугольника:

$a=7$$b=24$$c=25$ $гипотенуза$

Теперь проверим равенство:
$$c^2=a^2+b^2$$

Подставим значения:
$$25^2=7^2+24^2$$ $$625=49+576$$ $$625=625$$

Это равенство верно, следовательно, треугольник с указанными сторонами является прямоугольным.

2. Геометрический подход

Можно рассмотреть треугольник, построив его в координатной плоскости. Например, разместим одну из точек в начале координат, а вторую — по оси x, а третью — и по оси y.

Пусть точки A$0,0$, B$7,0$ и C$7,24$ $илилюбыедругиетакие,которыеудовлетворяютусловиям$.

Теперь найдем углы треугольника. Угол ACB можно найти, заметив, что векторы $AB=(7,0)$ и $AC=(7,24)$ перпендикулярны $разныеосикоординат$, следовательно, угол ACB равен 90 градусам.

Это также говорит о том, что треугольник является прямоугольным.

3. Тригонометрический подход

Во-первых, мы можем использовать свойства тригонометрии. Определим угол, используя функцию косинуса. Если треугольник прямоугольный, то для угла, противолежащего гипотенузе, выполняется следующее:

$$\cos (C)=\frac{a}{c}$$

Где:

$a=24$ $длинаоднойизкатетов$,$c=25$ $гипотенуза$.

Проверим:
$$\cos (C)=\frac{24}{25}$$ Теперь найдём значение синуса угла C:
$${\sin }^2(C)+{\cos }^2(C)=1$$ $${\sin }^2(C)+{\left(\frac{24}{25}\right)}^2=1$$ $${\sin }^2(C)+\frac{576}{625}=1$$ $${\sin }^2(C)=1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}$$ $$\sin (C)=\frac{7}{25}$$

Необходимо также удостовериться, что:
$${\sin }^2(C)+{\cos }^2(C)=1$$ $${\left(\frac{7}{25}\right)}^2+{\left(\frac{24}{25}\right)}^2=\frac{49}{625}+\frac{576}{625}=\frac{625}{625}=1$$

Это также подтверждает, что угол $C$ является прямым.

Заключение

Таким образом, мы уверенно доказали, что треугольник со сторонами 7, 24 и 25 является прямоугольным, используя алгебраический, геометрический и тригонометрический подходы.