Теорема Виета для квадратного уравнения

Формулировка теоремы: Если квадратное уравнение имеет вид:
$$a{x}^2+bx+c=0,$$ где $a\ne 0$, и его корни обозначим как $x_1$ и $x_2$, то:

Сумма корней:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},$$Произведение корней:
$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$Доказательство теоремы

Сумма корней:

Запишем квадратное уравнение в виде:
$$a(x-x_1)(x-x_2)=0.$$Раскроем скобки:
$$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2)=0,$$ что дает:
$$a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2=0.$$Сравнив коэффициенты с исходным уравнением $a{x}^2+bx+c=0$, получаем:
$$-a(x_1+x_2)=b⟹x_1+x_2=-\frac{b}{a}.$$

Произведение корней:

Используя уже раскрытое уравнение:
$$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2)=0,$$ сравниваем с $a{x}^2+bx+c=0$:
$$a{x}_1{x}_2=c⟹x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$$Применение теоремы Виета при составлении обратных задач

Теорема Виета имеет важное значение при решении обратных задач, когда известны сумма и произведение корней уравнения, но неизвестны сами корни.

Пример: Предположим, что необходимо найти два числа, сумма которых равна $S$ и произведение равно $P$. Тогда мы можем составить квадратное уравнение:
$$x^2-Sx+P=0.$$ Теперь, определив значения $S$ и $P$, мы можем использовать дискриминант для нахождения корней уравнения:
$$D=S^2-4P.$$ Если дискриминант не отрицательный, мы можем вычислить корни:
$$x_{1,2}=\frac{S\pm \sqrt{D}}{2}.$$

Таким образом, теорема Виета позволяет быстро находить значения переменных, заданных некоторыми условиями, что значительно упрощает решение обратных задач.