Последовательность $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ часто используется для определения числа $e$. Давайте рассмотрим ее сходимость и различные способы доказательства, что предел этой последовательности равен $e$.

Исследование сходимости

Чтобы исследовать сходимость, найдем предел последовательности $a_n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }a<em>n=\lim </em>n\to \infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

Способ 1: Логарифмическое преобразование

Возьмем натуральный логарифм:

$$\ln a_n=n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

Теперь найдем предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln a<em>n=\lim </em>n\to \infty n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

Используем разложение логарифма в ряд Тейлора:

$$\ln (1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\text{при}x\to 0$$

Подставляя $x=\frac{1}{n}$:

$$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\approx \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$$

Таким образом:

$$n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\approx n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}\right)=1-\frac{1}{2n}\to 1\text{при}n\to \infty$$

Поэтому:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln a<em>n=1\Rightarrow \lim </em>n\to \infty a_n=e^1=e$$

Способ 2: Определение предела через последовательности

Известно, что $e$ может быть определен через предел:

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

Доказательство этого факта может быть основано на использовании формулы для производной $e^x$ и свойств экспоненциальной функции, однако на данный момент мы можем утверждать, что таким путем мы пришли к одному и тому же пределу.

Способ 3: Метод бинома

Мы можем также выразить $a_n$ через биномиальную формулу:

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{1}{n}\right)}^k$$

При $n\to \infty$ это выражение приближается к $e$ из-за того, что по определению $e$ это сумма бесконечного ряда:

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}$$

Способ 4: Неравенства

Можно также использовать неравенства. Мы знаем, что:

[
1 + \frac{1}{n} < e^{\frac{1}{n}} \quad \text{и} \quad \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e
]
[
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > e^{\frac{1}{n + 1}}
]

Поэтому, используя эти неравенства и предельный переход, можно заверить, что $a_n$ стремится к $e$.

Заключение

Таким образом, мы показали, что предел последовательности $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ равен $e$ с помощью различных методов: логарифмических преобразований, определения предела, биномиального разложения и неравенств. Все эти подходы подтверждают сходимость последовательности к числу $e$.