Для анализа утверждения "Если предел последовательности $a_n$ равен $L$, то предел квадрата последовательности $a_n^2$ равен $L^2$", начнем с формального определения предела.

Определение предела последовательности: Последовательность $a_n$ сходится к $L$, если для любого ( \epsilon > 0 ) существует такое натуральное число $N$, что для всех ( n > N ) выполняется неравенство ( |a_n - L| < \epsilon ).

Доказательство: Предположим, что ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$. Это значит, что для любого ( \epsilon > 0 ) существует $N$, такое что для всех ( n > N ):
[
|a_n - L| < \epsilon.
]
Теперь преобразуем эту неравенство:

Для любого ( \epsilon > 0 ), выберем $\delta =\sqrt{ϵ+2|L|\cdot ϵ+{ϵ}^2}$. Обратите внимание, что мы предполагаем, что $|L|$ ограничено.Используем равенство $|a_n^2-L^2|=|(a_n-L)(a_n+L)|$.Выразим $|a_n+L|$:
[
|a_n + L| \leq |a_n - L| + |L| < \epsilon + |L|.
]Таким образом,
[
|a_n^2 - L^2| < |a_n - L| \cdot (|L| + \epsilon).
]

Теперь если мы сделаем так, чтобы ( |a_n - L| < \delta ), то мы можем контролировать $|a_n^2-L^2|$ через $ϵ$.

Таким образом, ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n^2=L^2$.

Необходимые условия:

Последовательность $a_n$ должна сходиться к конечному пределу $L$.Предел $L$ сам по себе должен быть конечным $еслибыонбылбесконечным,квадраттожебылбыбесконечным,итребовалисьбыдополнительныеусловиядляобработкитакихслучаев$.

Возможные ловушки:

Если $L=0$: в этом случае $a_n$ может стремиться к 0, но функции $a_n^2$ могут вести себя неконтролируемо, если не учитывать, что $a_n$ близки к 0, например, если бы $a_n$ была равна $\frac{1}{n}$ и другой последовательности с большим колебанием.Если этот предел равен бесконечности: в этом случае ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n^2$ также будет стремиться к бесконечности, и тем не менее хорошее определение предела должно учитываться.

В итоге, это утверждение делает предположение, что предел конечный и только в этом случае мы можем быть уверены в верности преобразования.