Неравенство Артиметической и Геометрической сред $AM-GM$ гласит, что для любых ненегативных чисел $a_1,a_2,\dots ,a_n$ выполняется неравенство:

$$\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

Равенство достигается, если и только если все $a_i$ равны.

Доказательства неравенства AM-GM

Доказательство с использованием математической индукции:

База индукции $n=1$:
Для $n=1$ неравенство тривиально, так как $a_1\ge a_1$.

Шаг индукции:
Предположим, что неравенство верно для $n=k$. Необходимо показать его справедливость для $n=k+1$.

Рассмотрим $a_1,a_2,\dots ,a<em>k,a</em>k+1$. По предположению индукции, у нас есть:

$$\frac{a_1+a_2+\dots +a_k}{k}\ge \sqrt[k]{a_1{a}_2\cdots a_k}$$

Обозначим $M=\sqrt[k]{a_1{a}_2\cdots a_k}$. Следовательно, $a_1+a_2+\dots +a_k\ge kM$.

Теперь применим AM-GM к $M$ и $a_{k+1}$:

$$\frac{M+a<em>k+1}{2}\ge \sqrt{M\cdot a</em>k+1}$$

Объединив обе части, получаем:

$$\frac{a_1+a_2+\dots +a<em>k+a</em>k+1}{k+1}\ge \sqrt[k+1]{a_1{a}_2\cdots a<em>ka</em>k+1}$$

Таким образом, неравенство верно для $n=k+1$, что завершает доказательство индукцией.

Графический подход: Можно также рассмотреть функцию $f(x)=\ln (x)$, которая является выпуклой. Используя неравенство Йенсена, получаем AM-GM. При применении функции логарифма и свойства выпуклости, мы приходим к аналогичной формулировке неравенства.

Случаи равенства

Равенство в неравенстве AM-GM достигается, если все $a_i$ равны, т.е. $a_1=a_2=\dots =a_n=c$ для некоторого $c\ge 0$. В этом случае:

$$\frac{n\cdot c}{n}=c\text{и}\sqrt[n]{c^n}=c.$$

Применение к оптимизационным задачам

Неравенство AM-GM часто используется в задачах оптимизации. Например, если нужно максимизировать функцию, зависящую от произведения нескольких переменных, то можно использовать AM-GM для поиска границ. Примером может служить задача максимизации $x_1{x}_2$ при условии $x_1+x_2=k$:

$$\frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1{x}_2}⟹{\left(\frac{k}{2}\right)}^2\ge x_1{x}_2$$

Так, максимальное значение $x_1{x}_2$ достигается, когда $x_1=x_2$.

Другой пример — задача о распределении ресурсов, где необходимо равномерно распределять ресурсы между различными компонентами для достижения максимальной производительности.

Таким образом, неравенство AM-GM является мощным инструментом в математическом анализе и оптимизации.