Для функции ( f(x) = |x| - x^2 ) начнем с анализа абсолютной величины и затем исследуем дифференцируемость, экстремумы и интервалы монотонности.

Шаг 1: Разложение по случаям

Функция ( |x| ) определяется по-разному в зависимости от знака ( x ):

Если ( x \geq 0 ), то ( |x| = x ).Если ( x < 0 ), то ( |x| = -x ).

Таким образом, мы можем разбить функцию ( f(x) ) на два случая:

( x \geq 0 ):
[
f(x) = x - x^2
]

( x < 0 ):
[
f(x) = -x - x^2 = -x - x^2
]

Шаг 2: Исследование на дифференцируемость

Теперь мы найдем производные функций для каждого случая:

Если ( x \geq 0 ):
[
f'(x) = 1 - 2x
]

Если ( x < 0 ):
[
f'(x) = -1 - 2x
]

Теперь исследуем точку ( x = 0 ) на дифференцируемость. Для этого найдем предел производной при ( x \to 0 ) слева и справа:

При ( x \to 0^+ ) (правый предел):
[
f'(0^+) = 1 - 2 \cdot 0 = 1
]

При ( x \to 0^- ) (левый предел):
[
f'(0^-) = -1 - 2 \cdot 0 = -1
]

Поскольку производные слева и справа в точке ( x = 0 ) не совпадают (( f'(0^+) \neq f'(0^-) )), функция ( f(x) ) не является дифференцируемой в точке ( x = 0 ).

Шаг 3: Нахождение экстремумов

Теперь найдем критические точки, приравняв производные к нулю:

Для ( x \geq 0 ):
[
1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}
]

Для ( x < 0 ):
[
-1 - 2x = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
]

Теперь у нас есть критические точки ( x = -\frac{1}{2} ) и ( x = \frac{1}{2} ).

Шаг 4: Интервалы монотонности

Теперь проанализируем знаки производных на интервалах:

( (-\infty, -\frac{1}{2}) ):
[
f'(x) = -1 - 2x < 0 \quad (\text{функция убывает})
]

( (-\frac{1}{2}, 0) ):
[
f'(x) = -1 - 2x \quad (\text{знак зависит от } x)
]
Например, для ( x = -\frac{1}{4} ), ( f'(-\frac{1}{4}) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} < 0) (функция убывает).

( (0, \frac{1}{2}) ):
[
f'(x) = 1 - 2x \quad (\text{функция убывает до } x = \frac{1}{2})
]

( (\frac{1}{2}, +\infty) ):
[
f'(x) = 1 - 2x < 0 \quad (\text{функция убывает})
]

Шаг 5: Значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

( f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} )( f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} )Итог:На интервале ( (-\infty, -\frac{1}{2}) ) функция убывает.В точке ( x = -\frac{1}{2} ) достигается максимум ( f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} ).На интервале ( (-\frac{1}{2}, 0) ) функция убывает.В точке ( x = 0 ) функция принимает значение ( f(0) = |0| - 0^2 = 0 ).На интервале ( (0, \frac{1}{2}) ) функция убывает.В точке ( x = \frac{1}{2} ) также достигается значение ( f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} ).На интервале ( (\frac{1}{2}, +\infty) ) функция убывает.

Таким образом, функция имеет один локальный максимум в точке ( x = -\frac{1}{2} ) и значение максимума ( f(-\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} ).