Формула Тейлора первого порядка используется для аппроксимации функции ( f(x) ) рядом с точкой ( a ) (называемой точкой разложения). Она имеет вид:

[
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)
]

Эта аппроксимация довольно груба и может ввести существенную погрешность, особенно когда функция сильно изменяется в области, близкой к ( x ), но дальней от ( a ).

Рассмотрим функцию ( f(x) = e^x ) и разложим её в точке ( a = 0 ):

[
f(0) = e^0 = 1
]
[
f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1
]

Теперь запишем формулу Тейлора первого порядка:

[
f(x) \approx 1 + 1 \cdot x = 1 + x
]

Теперь, если мы попробуем использовать это приближение для ( x = 2 ):

[
f(2) = e^2 \approx 7.389
]
[
\text{Тейлор} = 1 + 2 = 3
]

В данном случае относительная погрешность составляет:

[
\frac{|e^2 - (1 + 2)|}{e^2} = \frac{|7.389 - 3|}{7.389} \approx 0.59 \quad (или \quad 59\%)
]

Здесь мы видим, что погрешность очень велика, и наше приближение не отражает истинное значение.

Чтобы уменьшить погрешность, можно использовать более высокие порядки разложения Тейлора. Например, разложение Тейлора второго порядка включает второй производной:

[
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2
]

Для ( f(x) = e^x ) это будет:

[
f''(x) = e^x \Rightarrow f''(0) = e^0 = 1
]

Таким образом, для второго порядка:

[
f(x) \approx 1 + x + \frac{1}{2} x^2
]

Теперь, используя ( x = 2 ):

[
\text{Тейлор 2 порядка} = 1 + 2 + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 1 + 2 + 2 = 5
]

Относительная погрешность будет:

[
\frac{|e^2 - 5|}{e^2} \approx \frac{7.389 - 5}{7.389} \approx 0.32 \quad (или \quad 32\%)
]

Таким образом, используя более высокий порядок разложения Тейлора, мы можем значительно сократить погрешность аппроксимации функции.