Для проверки корректности распределения вероятностей дискретной величины, а также для вычисления математического ожидания и дисперсии можно использовать следующие методы:

1. Проверка корректности распределения вероятностей

Сумма вероятностей:

Убедитесь, что сумма всех вероятностей равна 1:
[
\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1
]Если сумма не равна 1, то распределение неверно.

Неотрицательность вероятностей:

Проверьте, что все вероятности неотрицательны:
[
P(X = x_i) \geq 0 \quad \forall i
]Отрицательные значения вероятностей недопустимы.

Нормализация:

Если сумма вероятностей не равна 1, можно нормализовать распределение, поделив каждую вероятность на сумму всех вероятностей:
[
P'(X = x_i) = \frac{P(X = xi)}{\sum{i=1}^{n} P(X = x_i)}
]2. Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание (E(X)) дискретной величины может быть вычислено по следующей формуле:
[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
]
где (x_i) — значения дискретной величины, а (P(X = x_i)) — соответствующие вероятности.

3. Вычисление дисперсии

Дисперсия (D(X)) дискретной величины вычисляется по следующей формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
где (E(X^2)) вычисляется по формуле:
[
E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X = x_i)
]

Пример

Пусть у нас есть дискретная величина (X) с следующими значениями и вероятностями:

(x_1 = 1), (P(X = 1) = 0.2)(x_2 = 2), (P(X = 2) = 0.5)(x_3 = 3), (P(X = 3) = 0.3)

Проверяем корректность:

Сумма вероятностей:
[
0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0 \quad (\text{корректно})
]

Неотрицательность:
[
0.2 \geq 0, \quad 0.5 \geq 0, \quad 0.3 \geq 0 \quad (\text{корректно})
]

Вычисляем математическое ожидание:
[
E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
]

Вычисляем (E(X^2)):
[
E(X^2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9
]

Вычисляем дисперсию:
[
D(X) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49
]

Теперь вы можете уверенно проверить распределение вероятностей, а также вычислить математическое ожидание и дисперсию!