В выражении ((x^3 - 1)/(x - 1)) используется свойство факторизации полиномов. В данном случае (x^3 - 1) можно разложить на множители. Один из множителей — это ((x - 1)), поэтому мы можем записать:

[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
]

Таким образом, наше выражение можно упростить:

[
\frac{x^3 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}
]

При (x \neq 1) мы можем сократить ((x - 1)) в числителе и знаменателе, получив:

[
x^2 + x + 1
]

Однако, важно отметить, что на (x = 1) исходное выражение становится неопределенным, поскольку в знаменателе будет (0). Чтобы избежать деления на ноль, следует указать, что выражение (\frac{x^3 - 1}{x - 1}) имеет смысл для всех (x), кроме (x = 1). Таким образом, мы можем сказать, что:

[
\frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1, \quad x \neq 1
]