Дана рекуррентная формула:

[ a_{n+1} = 2 a_n + 1 ]
с начальным условием ( a_0 = 1 ).

Для поиска явной формулы для последовательности ( a_n ) можно использовать метод, основанный на методе характеристического уравнения и разности.

Определим несколько первых членов последовательности: [
a_0 = 1
]
[
a_1 = 2 a_0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3
]
[
a_2 = 2 a_1 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7
]
[
a_3 = 2 a_2 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15
]
[
a_4 = 2 a_3 + 1 = 2 \cdot 15 + 1 = 31
]

Получили последовательность: ( 1, 3, 7, 15, 31 ).

Обозначим разность: Хотим выразить ( an ) в явном виде. Рассмотрим саму рекуррентную формулу. Перепишем её:
[
a{n+1} - 2 a_n = 1
]

Пусть ( b_n = a_n + c ) (вводим новую переменную для простоты). Найдем ( c ), чтобы избавиться от свободного члена: Подставим ( a_n = bn - c ):
[
b{n+1} - c - 2(bn - c) = 1
]
[
b{n+1} - 2bn + c = 1
]
Чтобы избавиться от свободного члена, выберем ( c = 1 ):
[
b{n+1} - 2b_n = 0
]

Теперь получаем гомогенное уравнение: Для последовательности ( bn ) гомогенное уравнение:
[
b{n+1} = 2b_n
]
Это означает, что ( b_n = K \cdot 2^n ) для некоторой константы ( K ).

Подставим обратно и найдем константу: Напомним, что ( a_n = b_n - 1 ):
[
a_n = K \cdot 2^n - 1
]
Теперь подставим начальное условие ( a_0 = 1 ):
[
K \cdot 2^0 - 1 = 1 \implies K - 1 = 1 \implies K = 2
]

Таким образом, явная формула: [
a_n = 2 \cdot 2^n - 1 = 2^{n+1} - 1
]

Это и есть явная формула для последовательности. Итоговый ответ:

[
\boxed{a_n = 2^{n+1} - 1}
]

Метод: Мы использовали метод преобразования рекуррентного отношения, чтобы упростить его до гомогенного уравнения. Затем нашли решение этого уравнения и вернулись к изначальной переменной, подставив начальное условие для нахождения константы.