Рассмотрим множество рациональных чисел между 0 и 1, обозначим его за ( Q = { \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ 0 < p < q } ). Чтобы показать счетность этого множества, можно воспользоваться следующим подходом.

Доказательство счетности

Определение множества: Первым шагом будет определить, что такое рациональное число между 0 и 1. Рациональное число может быть записано в виде дроби ( \frac{p}{q} ), где ( p ) и ( q ) — целые числа, ( p > 0 ), ( q > 0 ), и ( p < q ). Таким образом, у нас есть все дроби, которые соответствуют этим условиям.

Множество целых чисел: Важно заметить, что для фиксированного ( q ) значения ( p ) могут принимать значения от 1 до ( q-1 ). Таким образом, для каждого натурального числа ( q ) мы можем перечислить дроби ( \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \ldots, \frac{q-1}{q} ).

Счетное объединение: Теперь рассмотрим объединение всех таких дробей для ( q = 1, 2, 3, \ldots ):
[
Q = \bigcup_{q=1}^{\infty} \left{ \frac{p}{q} \mid 1 \leq p < q \right}
]
Каждый из этих множеств (при фиксированном ( q )) конечно и содержит ( q - 1 ) элементов, а общее число ( q ) идет от 1 до бесконечности.

Перечисление дробей: Мы можем перечислить все дроби между 0 и 1, начиная с ( q=2 ) (поскольку для ( q=1 ) дробей нет). Начнем с ( q=2 ) и будем увеличивать ( q ) — получая, например:

Для ( q=2 ): ( \frac{1}{2} )Для ( q=3 ): ( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} )Для ( q=4 ): ( \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} ) (но ( \frac{2}{4} ) сокращается до ( \frac{1}{2} ))

Устранение дубликатов: Таким образом, мы соберем все дроби, написав их в виде ( \frac{p}{q} ) и избавляясь от дубликатов (сокращая дроби). Мы можем упорядочить их в виде списка, как только все возможные дроби будут перечислены.

Построение биекции: Теперь, поскольку рациональные числа между 0 и 1 могут быть перечислены, мы можем установить биекцию между ими и множеством натуральных чисел ( \mathbb{N} ). Установив последовательность, например, таким образом:

( \frac{1}{2} \rightarrow 1 )( \frac{1}{3} \rightarrow 2 )( \frac{2}{3} \rightarrow 3 )( \frac{1}{4} \rightarrow 4 )и так далее.

Таким образом, все рациональные числа между 0 и 1 можно пронумеровать, что подтверждает их счетность.

Заключение

Таким образом, множество рациональных чисел между 0 и 1 является счетным, и это конструкция биекции показывает, что мы можем сопоставить каждому рациональному числу натуральное число, что подтверждает их счетность в математическом смысле.