Для функции ( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} ) проведем исследование симметрии, асимптот и интегрируемости на всей прямой.

Симметрия

Чтобы проверить симметрию функции, мы можем посмотреть на её значение при ( -x ):
[
f(-x) = \frac{1}{1 + (-x)^2} = \frac{1}{1 + x^2} = f(x).
]
Это указывает на то, что функция является четной. Таким образом, мы можем заключить, что функция симметрична относительно оси ( y ).

Асимптоты

Вертикальные асимптоты: Мы ищем значения ( x ), при которых функция не определена. В данном случае, знаменатель ( 1 + x^2 ) никогда не равен нулю для всех ( x \in \mathbb{R} ). Следовательно, вертикальных асимптот у функции нет.

Горизонтальная асимптота: Рассмотрим поведение функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ):
[
\lim{x \to \infty} f(x) = \lim{x \to \infty} \frac{1}{1 + x^2} = 0,
]
[
\lim{x \to -\infty} f(x) = \lim{x \to -\infty} \frac{1}{1 + x^2} = 0.
]
Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота ( y = 0 ).

Интегрируемость

Чтобы проверить интегрируемость функции ( f(x) ) на всей прямой, мы рассматриваем интеграл:
[
\int{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx.
]
Эта функция известна как функциональная форма функции распределения Коши и её интеграл можно вычислить как:
[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \pi.
]

Таким образом, функция ( f(x) ) интегрируема на всей прямой.

ВыводыФункция ( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} ) является четной (симметричной относительно оси ( y )).Вертикальных асимптот нет, а горизонтальная асимптота — это линия ( y = 0 ).Функция интегрируема на всей прямой, и её интеграл равен ( \pi ).