Для того чтобы найти количество целых неотрицательных решений системы уравнений (x + y = 10) при (x \geq 0) и (y \geq 0), мы можем использовать концепцию сочетаний с повторениями.

В данной задаче мы ищем такие пары ((x, y)), что сумма (x + y) равна фиксированному числу — в данном случае, 10. Это можно воспринимать как задачу о размещении 10 одинаковых предметов (в данном случае, единиц) в 2 различных корзины (переменные (x) и (y)).

Каждое целое неотрицательное решение ( (x, y) ) соответствует некоторому распределению 10 единиц между двумя переменными. Чтобы получить количество таких распределений, мы можем воспользоваться формулой для сочетаний с повторениями.

Формула для нахождения числа сочетаний с повторениями выглядит так:

[
C(n + k - 1, k - 1)
]

где (n) — это количество предметов (в нашем случае 10), а (k) — количество корзин (в нашем случае 2, потому что мы рассматриваем (x) и (y)).

Таким образом, нам нужно подставить в формулу:

(n = 10)(k = 2)

Подставляем в формулу:

[
C(10 + 2 - 1, 2 - 1) = C(11, 1)
]

Считаем:

[
C(11, 1) = 11
]

Таким образом, существует 11 целых неотрицательных решений системы уравнений (x + y = 10) при (x \geq 0) и (y \geq 0).

Решения данной системы могут быть представлены в следующем виде:

( (0, 10) )( (1, 9) )( (2, 8) )( (3, 7) )( (4, 6) )( (5, 5) )( (6, 4) )( (7, 3) )( (8, 2) )( (9, 1) )( (10, 0) )

Итак, количество целых неотрицательных решений данной системы равно 11, и это количество можно связать с концепцией сочетаний с повторениями, которая позволяет вычислить число способов положить (n) одинаковых предметов в (k) различных контейнеров.