Пусть ( p(x) ) — это полином с целыми коэффициентами, то есть ( p(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 ), где все коэффициенты ( a_i \in \mathbb{Z} ). Рассмотрим значение полинома в некоторой целочисленной точке ( a ), то есть ( p(a) ).

Критерии делимости ( p(a) ) на простое число ( p ) можно обсудить с помощью теоремы о остатках и некоторых свойств полиномов над целыми числами.

Полином и делимость: Если ( p ) — это простое число, то ( p(a) \equiv 0 \mod p ) значит, что ( p(a) ) делится на ( p ).

Теорема о остатках: Если ( p(x) ) является полиномом с целыми коэффициентами и ( a ) — целое число, то по теореме о остатках, мы имеем:
[
p(a) \equiv a_0 \mod p
]
где ( a_0 = p(0) ) (свободный член полинома).

Критерий делимости:
[
p(a) \equiv 0 \mod p \Rightarrow a_0 \equiv 0 \mod p
]
Это означает, что если ( p(a) ) делится на простое ( p ), то и свободный член ( a_0 ) должен делиться на ( p ).

Обобщение на произвольные значения а: Если ( a ) — произвольное целое число, то следует исследовать ( p(a) ) по аналогии. Возьмем ( b = a \mod p ), тогда можно написать:
[
p(a) \equiv p(b) \mod p
]
Соответственно, для проверки делимости достаточно проверить выражение ( p(b) ).

Таким образом, основные критерии делимости ( p(a) ) на простое число ( p ) сводятся к тому, что необходимо проверить зависимость от ( a_0 ) (свободного члена) и возможные значения ( a \mod p ). Если ( a_0 \equiv 0 \mod p ) и ( p(a) ) должно равняться ( 0 \mod p ), значит, ( a_0 ) обязательно должно делиться на ( p ). Это приводит к удобному критерию проверки делимости значений полинома на простое число, который можно применять в исследованиях свойств целочисленных полиномов.