Чтобы определить, является ли заданное десятичное число периодическим, необходимо понять, что периодические десятичные дроби имеют конечное повторяющееся множество цифр в их дробной части. Например, число ( \frac{1}{3} = 0.333... ) является периодическим, так как цифра ( 3 ) повторяется бесконечно.

Алгоритм для определения, является ли число периодическим:

Преобразование числа в дробь: Если число дано в десятичном виде, попробуйте представить его в виде дроби ( \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) - целые числа.

Если число уже в виде дроби, пропустите этот шаг.

Изучение знаменателя: Определите простые множители знаменателя ( b ).

Если знаменатель ( b ) содержит только простые множители ( 2 ) и ( 5 ), то дробь является конечной, и, следовательно, число не является периодическим.Если в знаменателе ( b ) есть другие простые множители, число будет периодическим.

Преобразование дроби в десятичный формат: Для проверки, является ли число периодическим, можно также разделить числитель на знаменатель.

Записывайте результат деления, следя за остатками. Если остаток повторяется, это означает, что дробная часть начинает периодически повторяться.Алгоритм для нахождения периода:

Разделение числителя на знаменатель: Ведите деление до тех пор, пока не получите остаток ( 0 ) или не встретите уже встречавшийся остаток.

Запись остатков: Каждый раз, когда вы делите, фиксируйте остаток и соответствующую цифру, полученную в результате деления. Это поможет определить период.

Определение периода: Когда остаток повторяется, запишите все цифры, которые появились между первым появлением остатка и его повторением. Эти цифры и составляют период.

Пример:

Рассмотрим число ( \frac{1}{7} ):

Записываем дробь как ( 1 \div 7 ):

( 1.000000 \div 7 ) даёт: ( 0.142857142857... )Остатки: ( 1, 3, 2, 6, 4, 5 ) (периодичность заметна, когда остатки начинают повторяться).

Период: ( 142857 ) (длина периода равна ( 6 )).

Таким образом, ( \frac{1}{7} ) является периодическим числом с периодом ( 142857 ).