Чтобы упростить выражение (\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}), воспользуемся известной тригонометрической формулой:

[
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x).
]

Подставим это в исходное выражение:

[
\frac{\sin(2x)}{\sin(x)} = \frac{2 \sin(x) \cos(x)}{\sin(x)}.
]

При условии, что (\sin(x) \neq 0) (то есть (x \neq k\pi) для (k \in \mathbb{Z})), мы можем сократить (\sin(x)):

[
\frac{\sin(2x)}{\sin(x)} = 2 \cos(x).
]

Таким образом, упрощённая форма выражения:

[
\frac{\sin(2x)}{\sin(x)} = 2 \cos(x).
]

Теперь обсудим поведение выражения в пределе при (x \to 0):

[
\lim{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} = \lim{x \to 0} 2 \cos(x).
]

Так как (\cos(0) = 1), то:

[
\lim_{x \to 0} 2 \cos(x) = 2 \cdot 1 = 2.
]

Таким образом, предел выражения (\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}) при (x \to 0) равен 2.