Давайте рассмотрим уравнение ( x^4 + x^2 + 1 = 0 ).

Для упрощения работы с уравнением можно сделать замену переменной: положим ( y = x^2 ). Тогда уравнение принимает следующий вид:

[
y^2 + y + 1 = 0
]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = 1 ). Подставим эти значения:

[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
]

Теперь мы имеем:

[
y = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
]

Это даёт два значения для ( y ):

[
y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
]

Теперь нужно вернуть переменную ( x ). Мы помним, что ( y = x^2 ), поэтому:

[
x^2 = y_1 \quad \text{и} \quad x^2 = y_2
]

Следовательно, мы должны найти корни для каждого из значений ( y_1 ) и ( y_2 ):

Корни для ( y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} ):

Чтобы найти ( x ), вычисляем:

[
x = \pm \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}
]

Для этого удобно представить ( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} ) в полярной форме. Находим модуль и аргумент:

[
r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1
]

[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} \text{ (в квадранте II)}
]

Теперь в полярной форме мы можем записать:

[
y_1 = 1 \left( \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} \right)
]

Теперь находим ( x ):

[
x = \pm \sqrt{y_1} = \pm \left( \cos\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) \right) = \pm \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = \pm \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)
]

Таким образом, у нас есть два корня из ( y_1 ):

[
x_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = -\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
]

Корни для ( y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} ):

Используем аналогичные шаги:

[
x = \pm \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}
]

Аналогично:

[
r = 1
]

[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \text{ (в квадранте III)}
]

Записываем в полярной форме:

[
y_2 = 1 \left( \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} \right)
]

Теперь находим ( x ):

[
x = \pm \sqrt{y_2} = \pm \left( \cos\left(\frac{4\pi/3}{2}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi/3}{2}\right) \right) = \pm \left( \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} \right) = \pm \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)
]

Таким образом, у нас есть еще два корня:

[
x_3 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_4 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
]

В итоге все корни уравнения ( x^4 + x^2 + 1 = 0 ):

[
x_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_3 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_4 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
]

Это все четыре комплексных корня уравнения.