Для нахождения максимумов и минимумов функции ( f(x) = x^3 - 3x + 1 ) на отрезке ([-2, 2]), нам нужно найти критические точки функции и исследовать ее значение на границах отрезка.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для нахождения критических точек найдем производную функции:
[
f'(x) = 3x^2 - 3
]

Шаг 2: Найдем критические точки.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
[
3x^2 - 3 = 0
]
[
x^2 - 1 = 0
]
[
(x - 1)(x + 1) = 0
]
Таким образом, критические точки находятся в точках:
[
x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1
]

Шаг 3: Найдем значения функции в критических точках и на границах отрезка.

Теперь мы найдем значения функции на критических точках и границах отрезка ([-2, 2]).

1) Вычислим (f(-2)):
[
f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1
]

2) Вычислим (f(-1)):
[
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3
]

3) Вычислим (f(1)):
[
f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1
]

4) Вычислим (f(2)):
[
f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
]

Шаг 4: Сравним значения функции.

Теперь у нас есть следующие значения функции:

(f(-2) = -1)(f(-1) = 3)(f(1) = -1)(f(2) = 3)

Теперь определим максимум и минимум на отрезке ([-2, 2]):

Минимум: (-1) (значения в точках (x = -2) и (x = 1))Максимум: (3) (значения в точках (x = -1) и (x = 2))Ответ:Максимум: (3) при (x = -1) и (x = 2).Минимум: (-1) при (x = -2) и (x = 1).