Чтобы построить пример треугольника, где медианы также являются высотами, рассмотрим равносторонний треугольник.

Рассмотрим равносторонний треугольник (ABC) с одинаковой длиной сторон (a). В равностороннем треугольнике:

Медианы: Медианы пересекаются в центре тяжести и делят треугольник на три равновеликих треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, длины всех медиан равны и равны (\frac{\sqrt{3}}{3} a).

Высоты: Высоты в равностороннем треугольнике также равны и делят треугольник на два прямоугольных треугольника. Длина высоты равна (\frac{\sqrt{3}}{2} a).

Теперь признаемся, что в равностороннем треугольнике медианы и высоты совпадают. Это правда только для случая равностороннего треугольника.

Доказательство, что медианы равностороннего треугольника также являются высотами:

Высота (h) равностороннего треугольника из вершины (A) (например) к стороне (BC) будет равна:

[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a.
]

Медиана (m) из вершины (A) к стороне (BC) (которая по модулю находитс в половине длины стороны (BC)) равна:

[
m = \frac{2a}{3} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}a.
]

Но так как треугольник равносторонний, и высота из любой вершины совпадает с медианой, тогда все медианы равны высотам, благодаря симметрии равностороннего треугольника.

Таким образом, равносторонний треугольник является единственным типом треугольника, для которого все медианы совпадают с высотами.