В математическом анализе важно различать два вида сходимости последовательностей функций: точечную сходимость и равномерную сходимость. Давайте рассмотрим их определения и приведем соответствующие примеры.

Точечная сходимость

Последовательность функций ( f_n(x) ) называется сходящейся к функции ( f(x) ) на множестве ( D ) точечно, если для каждого фиксированного ( x \in D ) последовательность ( f_n(x) ) сходится к ( f(x) ). Формально, это записывается как:

[
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \text{для каждого } x \in D.
]

Пример точечной сходимости

Рассмотрим последовательность функций ( f_n(x) = \frac{x}{n} ) на интервале ( [0, 1] ).

Пусть ( x \in [0, 1] ). Тогда:

[
\lim_{n \to \infty} fn(x) = \lim{n \to \infty} \frac{x}{n} = 0.
]

Следовательно, точечная сходимость имеет место, и мы можем записать, что ( f_n(x) ) сходится к функции ( f(x) = 0 ) на ( [0, 1] ).

Равномерная сходимость

Последовательность функций ( f_n(x) ) называется сходящейся к функции ( f(x) ) равномерно на множестве ( D ), если:

[
\lim{n \to \infty} \sup{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0.
]

Это означает, что для любого положительного числа ( \epsilon ) существует такой номер ( N ), что для всех ( n > N ) и для всех ( x \in D ):

[
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon.
]

Пример равномерной сходимости

Рассмотрим последовательность функций ( g_n(x) = \frac{x}{n} ) на интервале ( [0, 1] ), как и в предыдущем примере.

Для функции ( f(x) = 0 ) мы имеем:

[
|g_n(x) - f(x)| = \left|\frac{x}{n}\right| = \frac{x}{n}.
]

Теперь определим supremum на интервале ( [0, 1] ):

[
\sup_{x \in [0, 1]} |gn(x)| = \sup{x \in [0, 1]} \frac{x}{n} = \frac{1}{n}.
]

Теперь заметим, что:

[
\lim{n \to \infty} \sup{x \in [0, 1]} |gn(x) - f(x)| = \lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.
]

Таким образом, последовательность ( g_n(x) ) сходится к ( f(x) = 0 ) на ( [0, 1] ) равномерно.

Вывод

Из приведенных примеров видно, что последовательность функций может сходиться точечно, но не равномерно; а может сходиться и равномерно. Например, если мы возьмем последовательность функции ( h_n(x) = x^n ) на интервале ( [0, 1] ), то:

Она сходится точечно к функции, которая равна ( 0 ) для ( x < 1 ) и ( 1 ) для ( x = 1 ) (т.е. не равномерно).Однако, последовательности, такие как ( f_n(x) ) и ( g_n(x) ), теперь мы видим, что могут сойтись и одновременно точечно, и равномерно, при этом итоговая функция является нулевой.

Это важное различие в анализе последовательностей функций и при изучении аналитических свойств функций.