Чтобы построить внутри квадрата со стороной ( a ) треугольник максимальной площади, следует обратить внимание на некоторые свойства геометрии.

Рассмотрим квадрат, расположенный в координатной плоскости с вершинами в точках ( (0,0) ), ( (a,0) ), ( (a,a) ), и ( (0,a) ).

1. Определение треугольника

Рассмотрим треугольник, вершины которого могут находиться на различных сторонах квадрата. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

[
S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту
]

2. Особая конфигурация треугольника

Логично предположить, что максимальную площадь треугольника можно получить, если его вершины будут находиться на вершинах квадрата. Для этого рассмотрим треугольник, у которого две вершины находятся на одной стороне квадрата, а третья — на противоположной.

Возьмем треугольник, который имеет вершины в точках ( (0,0) ), ( (a,0) ) и ( (a/2, a) ).

3. Вычисление площади

Площадь данного треугольника можно рассчитать следующим образом:

[
S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту
]

Здесь основание ( = a ) (расстояние между вершинами на нижней стороне) и высота ( = a ) (расстояние от верхней вершины до основания):

[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}
]

4. Проверка других конфигураций

Чтобы проверить, что эта конфигурация действительно максимальная, можно использовать метод, основанный на свойстве того, что для фиксированной длины периметра площадь треугольника максимальна, когда он равносторонний, или что наибольшая площадь для треугольника, вписанного в произвольный многоугольник, достигается при использовании наиболее распространенной конфигурации (вершины на вершинах).

Также стоит рассмотреть все возможные варианты расположения вершин треугольника внутри квадрата. В результате становимся свидетелями того, что какая-либо другая конфигурация (внутренние точки, перекрывающиеся с краем и т.д.) либо приводит к меньшему значению площади, либо не достигает большего, чем ( \frac{a^2}{2} ).

5. Заключение

Таким образом, треугольник, построенный с вершинами в точках ( (0,0) ), ( (a,0) ) и ( (a/2, a) ), действительно будет с максимальной площадью ( \frac{a^2}{2} ). Этот метод демонстрирует, что оптимальность достигается при использовании крайних значений (вершин квадрата), что минимизирует «потерю» площади и, следовательно, обеспечивает максимальное значение.