Для функции ( f(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) ) при ( x \neq 0 ) и ( f(0) = 0 ) необходимо исследовать ее непрерывность и дифференцируемость в точке ( x = 0 ).

Непрерывность в нуле

Чтобы проверить непрерывность функции в точке ( x = 0 ), нужно убедиться, что

[
\lim_{x \to 0} f(x) = f(0).
]

Мы знаем, что ( f(0) = 0 ), поэтому нам нужно вычислить предел:

[
\lim{x \to 0} f(x) = \lim{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right).
]

Заметим, что (\sin\left(\frac{1}{x}\right)) колеблется между -1 и 1 для всех ( x \neq 0 ). Таким образом, мы имеем:

[
-x \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x.
]

Принимая пределы, получаем:

[
\lim{x \to 0} -x = 0 \quad \text{и} \quad \lim{x \to 0} x = 0.
]

По принципу夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹夹по теореме о предельной стоимости, делаем вывод о том, что:

[
\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0).
]

Следовательно, функция ( f(x) ) непрерывна в точке ( x = 0 ).

Дифференцируемость в нуле

Теперь проверим, является ли функция дифференцируемой в точке ( x = 0 ). Для этого найдем производную в точке 0, то есть, нам нужно вычислить предел:

[
f'(0) = \lim{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{f(h)}{h}.
]

Подставим ( f(h) = h \sin\left(\frac{1}{h}\right) ):

[
f'(0) = \lim{h \to 0} \frac{h \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim{h \to 0} \sin\left(\frac{1}{h}\right).
]

Поскольку ( \sin\left(\frac{1}{h}\right) ) колеблется между -1 и 1, предел не существует. Это значит, что функция ( f(x) ) не имеет предела производной в точке 0, и, таким образом, не является дифференцируемой в этой точке.

ВыводФункция ( f(x) ) непрерывна в нуле.Функция ( f(x) ) не дифференцируема в нуле.