Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными уравнениями (y = k_1 x + b_1) и (y = k_2 x + b_2), мы можем использовать угловой коэффициент этих прямых, который равен наклону. Угловые коэффициенты у нас следующие:

Для прямой (y = 2x + 1) угловой коэффициент (k_1 = 2).Для прямой (y = -\frac{1}{2} x + 3) угловой коэффициент (k_2 = -\frac{1}{2}).

Теперь мы можем вычислить угол (\theta) между двумя прямыми с помощью формулы:

[
\tan \theta = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|.
]

Подставляем значения (k_1) и (k_2):

[
\tan \theta = \left| \frac{2 - (-\frac{1}{2})}{1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2})} \right| = \left| \frac{2 + \frac{1}{2}}{1 - 1} \right|.
]

Упрощая, находим:

[
\tan \theta = \left| \frac{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}}{1 - 1} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{0} \right|.
]

В этом случае дробь не определена, потому что знаменатель равен нулю. Это означает, что угол (\theta) равен (90^\circ). То есть, прямые перпендикулярны друг другу (поскольку произведение их угловых коэффициентов отрицательно: (k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1)).

Метод через скалярное произведение направляющих векторов

Каждая прямая в двумерном пространстве может быть представлена направляющим вектором. Для наших прямых направляющие векторы можно выбрать:

Для (y = 2x + 1): направляющий вектор (\mathbf{a} = (1, 2)).Для (y = -\frac{1}{2}x + 3): направляющий вектор (\mathbf{b} = (1, -\frac{1}{2})).

Чтобы найти угол (\theta) между векторами, можем воспользоваться формулой для скалярного произведения:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta,
]

где (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) — это скалярное произведение векторов, а (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — их длины.

Найдём скалярное произведение:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (2)(-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0.
]

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны и угол между ними равен (90^\circ).

Таким образом, угол между прямыми с уравнениями (y = 2x + 1) и (y = -\frac{1}{2}x + 3) равен (90^\circ).