Для нахождения площади треугольника со сторонами (a = 13), (b = 14) и (c = 15), мы можем использовать формулу Герона. Эта формула говорит, что площадь треугольника равна:

[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
]

где (s) — полупериметр треугольника, а (a), (b) и (c) — длины сторон.

Сначала находим полупериметр (s):

[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
]

Теперь подставим значения в формулу Герона:

[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
]

Вычислим (s-a), (s-b) и (s-c):

[
s - a = 21 - 13 = 8
]
[
s - b = 21 - 14 = 7
]
[
s - c = 21 - 15 = 6
]

Теперь подставим эти значения в формулу:

[
S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
]

Сначала вычислим произведение:

[
21 \times 8 = 168
]
[
168 \times 7 = 1176
]
[
1176 \times 6 = 7056
]

Теперь найдём квадратный корень:

[
S = \sqrt{7056}
]

Вычисляя, получаем:

[
\sqrt{7056} = 84
]

Итак, площадь треугольника составляет (84) квадратных единиц.

Теперь обсудим, почему формула Герона подходит для этого треугольника. Формула Герона применяется для любого треугольника, если известны длины его сторон, при условии, что такие стороны могут образовать треугольник. В данном случае стороны (13), (14) и (15) удовлетворяют неравенству треугольника:

[
a + b > c \implies 13 + 14 > 15
]
[
a + c > b \implies 13 + 15 > 14
]
[
b + c > a \implies 14 + 15 > 13
]

Все три неравенства выполняются, значит такой треугольник действительно существует, и мы можем смело применять формулу Герона для вычисления его площади.