Доказательство суммы внутренних углов n-угольника с использованием математической индукции и геометрических разбиений можно построить следующим образом:

База индукции: Рассмотрим треугольник (3-угольник). В треугольнике сумма внутренних углов равна 180 градусов. Это соответствует формуле (n-2) * 180 для n = 3:

[
(3-2) \times 180 = 1 \times 180 = 180 \text{ градусов}.
]

Таким образом, утверждение верно для n = 3.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для n = k, где k ≥ 3. То есть, мы предполагаем, что сумма внутренних углов k-угольника равна (k-2) * 180 градусов.

Теперь нужно показать, что оно верно для n = k + 1. Рассмотрим (k + 1)-угольник. Мы можем взять его и провести одну диагональ, соединяющую две несмежные вершины. Эта диагональ разбивает (k + 1)-угольник на два многоугольника: один из них будет k-угольником, а другой — треугольником.

По предположению индукции, сумма внутренних углов k-угольника равна:

[
(k-2) \times 180 \text{ градусов},
]

и мы знаем, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

Таким образом, сумма внутренних углов (k + 1)-угольника будет равна:

[
(k-2) \times 180 + 180 = (k-2) \times 180 + 1 \times 180 = (k-1) \times 180 \text{ градусов}.
]

Это соответствует нашей формуле для n = k + 1:

[
((k + 1) - 2) \times 180 = (k - 1) \times 180 \text{ градусов}.
]

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k-угольника, то оно верно и для (k + 1)-угольника.

Заключение: По принципу математической индукции утверждение о том, что сумма внутренних углов n-угольника равна (n-2) * 180 градусов, справедливо для всех n ≥ 3.