Чтобы определить значения параметра ( a ), при которых уравнение ( \cos(x) = a ) имеет ровно одно решение на интервале ( [0, 2\pi] ), нужно учитывать свойства функции косинуса.

Функция ( \cos(x) ):

Область определения: все действительные числа.Периодичность: ( 2\pi ).На интервале ( [0, 2\pi] ) функция ( \cos(x) ) принимает все значения от ( 1 ) до ( -1 ), причем:
( \cos(0) = 1 )( \cos(\pi) = -1 )( \cos(2\pi) = 1 )

На этом интервале, функция ( \cos(x) ) монотонно убывает от 1 до -1 на отрезке ( [0, \pi] ) и снова монотонно возрастает от -1 до 1 на отрезке ( [\pi, 2\pi] ).

Теперь давайте разберемся, когда уравнение ( \cos(x) = a ) будет иметь ровно одно решение на ( [0, 2\pi] ):

Уравнение будет иметь рали одно решение, когда значение ( a ) равно ( 1 ) (в точке ( x = 0 ) и ( x = 2\pi )) или когда ( a ) равно ( -1 ) (в точке ( x = \pi )).

Таким образом, для равенства ( \cos(x) = a ) было одно решение на отрезке ( [0, 2\pi] ) происходит в точках:

( a = 1 ) (x = 0 и x = 2π — одно значение, харктеризующее начальную и конечную точки периода)( a = -1 ) (x = π — единственное значение для отрицательного края)

Следовательно, единственные значения ( a ), при которых уравнение ( \cos(x) = a ) имеет ровно одно решение на интервале ( [0, 2\pi] ):

( a = 1 ) или ( a = -1 ).

Окончательный вывод:
Уравнение ( \cos(x) = a ) имеет ровно одно решение на интервале ( [0, 2\pi] ) для ( a = 1 ) и ( a = -1 ).