Сумма вида ( S_n = \sin(x) + \sin(2x) + \ldots + \sin(nx) ) может быть выражена через использование формул для суммы синусов. Мы можем использовать следующую формулу для суммы синусов:

[
Sn = \sum{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}
]

Эта формула получена с использованием метода комплексных чисел или методом дугового сложения. Теперь оценим поведение данной суммы при больших ( n ).

Анализ поведения при больших ( n ):

Основным элементом в формуле является ( \sin\left(\frac{nx}{2}\right) ) и ( \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) ). Эти функции будут колебаться между -1 и 1, поэтому ( S_n ) не будет стремиться к какому-либо конкретному числу при больших ( n ); она будет продолжать колебаться.Поскольку числитель будет колебаться, а знаменатель ( \sin\left(\frac{x}{2}\right) ) — если ( x \neq 2k\pi ) для ( k \in \mathbb{Z} ) — также будет фиксированным и ненулевым. Таким образом, при больших ( n ) будет происходить «удушение» (то есть рост и уменьшение) ( S_n ).

Специальные случаи:

Если ( x = \frac{2\pi m}{n} ) для некоторых целых ( m ), то сумма сведётся к фиксированному значению на основе тех ( m ).Если ( x ) близок к 0, то поведение будет также зависеть от значения ( \sin\left(\frac{x}{2}\right) ).

Периодичность:

Сумма будет периодически возвращаться к своим значениям из-за гармонического характера компонент ( \sin(kx) ).

В заключение, функция ( S_n ) будет оставаться ограниченной и колебливаться между некоторыми максимальными и минимальными значениями, но её поведение не будет стремиться к какому-либо фиксированному значению при увеличении ( n ). Если необходимо более детальное поведение или конкретные численные примеры, можно проанализировать ( S_n ) для конкретных значений ( x ).