Давайте докажем тождество

[
\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right).
]

Шаг 1: Используем формулы для синуса и косинуса

Для начала вспомним формулы для суммы и разности углов синуса:

[
\sin(a) = \sin\left(\frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}\right) = \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) + \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right).
]

[
\sin(b) = \sin\left(\frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2}\right) = \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) - \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right).
]

Шаг 2: Суммируем

Теперь сложим (\sin(a)) и (\sin(b)):

[
\sin(a) + \sin(b) = \left(\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) + \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\right) + \left(\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) - \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\right).
]

Соберем подобные слагаемые:

[
\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right).
]

Таким образом, мы доказали тождество:

[
\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right).
]

Пример применения тождества

Рассмотрим, например, выражение (\sin(30^\circ) + \sin(10^\circ)).

Сначала найдем значения по отдельности:

[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(10^\circ) \text{ приближенно можно найти, но давайте используем тождество.}
]

Пусть (a = 30^\circ) и (b = 10^\circ):

[
\sin(30^\circ) + \sin(10^\circ) = 2 \sin\left(\frac{30^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{30^\circ - 10^\circ}{2}\right).
]

Посчитаем:

[
\frac{30^\circ + 10^\circ}{2} = 20^\circ, \quad \frac{30^\circ - 10^\circ}{2} = 10^\circ.
]

Таким образом,

[
\sin(30^\circ) + \sin(10^\circ) = 2 \sin(20^\circ) \cos(10^\circ).
]

Теперь можем вычислить (2 \sin(20^\circ) \cos(10^\circ)) и сопоставить это значение с (\sin(30^\circ) + \sin(10^\circ)).

В итоге мы получили упрощенную форму, которая может быть полезна для дальнейших вычислений.