Рассмотрим функцию ( f(x) = \arctan(x) ).

Пределы на бесконечности

Для нахождения пределов функции на бесконечности, рассмотрим:

(\lim{x \to +\infty} \arctan(x)):
[
\lim{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}
]

(\lim{x \to -\infty} \arctan(x)):
[
\lim{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}
]

Асимптоты

Функция ( f(x) = \arctan(x) ) имеет горизонтальные асимптоты:

При ( x \to +\infty ): асимптота ( y = \frac{\pi}{2} )При ( x \to -\infty ): асимптота ( y = -\frac{\pi}{2} )

Таким образом, горизонтальные асимптоты определены.

Производная по определению

Производная функции в точке ( x_0 ) задаётся следующим образом:
[
f'(x0) = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
]

Для функции ( f(x) = \arctan(x) ) производная будет вычисляться по определению, например, для ( x_0 = 0 ):

[
f'(0) = \lim{h \to 0} \frac{\arctan(0 + h) - \arctan(0)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{\arctan(h) - 0}{h}
]

Согласно свойствам арктангенса, при ( h ) стремящемся к нулю, ( \arctan(h) \approx h ) (избегая использования точных пределов для простоты).

Поэтому:
[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1
]

Для общего случая производную функции ( \arctan(x) ) можно найти, используя стандартные правила дифференцирования:
[
f'(x) = \frac{1}{1+x^2}
]

Подводя итог:

Пределы на бесконечности:

( \lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2} )( \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2} )

Горизонтальные асимптоты:

( y = \frac{\pi}{2} ) при ( x \to +\infty )( y = -\frac{\pi}{2} ) при ( x \to -\infty )

Производная:

( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} ) (найдена как в общем виде, так и по определению).