Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{A} ) и ( \mathbf{B} ) выражается следующей формулой:

[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta)
]

где ( \theta ) — угол между векторами. При этом важно отметить, что значение скалярного произведения может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от угла между векторами:

Если угол ( \theta ) меньше 90 градусов, то скалярное произведение положительно.Если угол ( \theta ) равен 90 градусам, то скалярное произведение равно нулю.Если угол ( \theta ) больше 90 градусов, то скалярное произведение отрицательно.

Когда студент применяет модуль скалярного произведения, он игнорирует знак, и это приводит к ошибке в определении угла. Рассмотрим случаи:

Если угол меньше 90 градусов: так как ( \cos(\theta) > 0 ), модуль скалярного произведения будет равен самому скалярному произведению, и ошибка не возникнет.

Если угол равен 90 градусам: в этом случае скалярное произведение равно нулю. Модуль нуля также будет равен нулю, и это условие не даст проблем.

Если угол больше 90 градусов: в этом случае ( \cos(\theta) < 0 ), и скалярное произведение будет отрицательным. Использование модуля в этом случае приведет к тому, что ( |\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| |\cos(\theta)| ), где ( |\cos(\theta)| > 0 ). Это может привести к неправильному определению угла ( \theta ), так как, несмотря на использование модуля, значение может быть интерпретировано как угол меньше 90 градусов (поскольку ( \cos(\theta) ) со знаком плюс будет считаться).

Таким образом, ошибка возникает в случае, когда угол между векторами больше 90 градусов, так как модуль скалярного произведения приведет к интерпретации угла как меньшего, чем есть на самом деле.