Мы можем доказать тригонометрическое тождество ( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) ), используя определения синуса и косинуса через эквиваленты.

Используем известные тождества:
[
\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1
]
[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
]

Выразим ( \cos(2x) ) через косинус и синус:
[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
]
Это равенство представляет собой то же самое выражение, что и ( \cos^2(x) - \sin^2(x) ).

Таким образом, мы показали, что ( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) ) является верным тождеством.

Упрощение выражений: Тождество ( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) ) может быть использовано для упрощения сложных тригонометрических выражений. Например, если у вас есть выражение вида ( \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 ), вы можете заменить ( \cos^2(x) - \sin^2(x) ) на ( \cos(2x) ), что значительно упрощает дальнейшие вычисления.

Решение уравнений: При решении тригонометрических уравнений это тождество может помочь преобразовать уравнение в более простую форму. Например, уравнение ( \cos^2(x) - \sin^2(x) = k ) можно преобразовать в ( \cos(2x) = k ), что может быть проще для решения.

Графический анализ: Зная это тождество, можно анализировать поведение функций ( \cos^2(x) ) и ( \sin^2(x) ) в зависимости от изменения ( x ), используя график ( \cos(2x) ).

Вывод ряды: Также это тождество можно применять в задачах по математическому анализу, например, при нахождении пределов или вычислении производных.

Таким образом, тождество ( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) ) является важным инструментом в тригонометрии, позволяющим упрощать и решать множество задач.