Аппроксимация функции с помощью полинома Тейлора позволяет выразить эту функцию в виде суммы многочлена, который хорошо приближает исходную функцию около некоторой точки. Для функции ( \sin(x) ) мы будем использовать разложение в ряд Тейлора в окрестности точки ( x = 0 ).

Полином Тейлора порядка 3 для функции ( \sin(x) ) можно найти, вычисляя производные функции в точке ( x = 0 ):

( f(x) = \sin(x) )( f'(x) = \cos(x) )( f''(x) = -\sin(x) )( f'''(x) = -\cos(x) )

Теперь подставим значение ( x = 0 ):

( f(0) = \sin(0) = 0 )( f'(0) = \cos(0) = 1 )( f''(0) = -\sin(0) = 0 )( f'''(0) = -\cos(0) = -1 )

Теперь мы можем записать полином Тейлора:

[
\sin(x) \approx P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3
]

Подставляя значения:

[
P_3(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 + \frac{-1}{6}x^3 = x - \frac{1}{6}x^3
]

Таким образом, полином Тейлора порядка 3 для функции ( \sin(x) ) равен:

[
P_3(x) = x - \frac{1}{6}x^3
]

Теперь оценим погрешность аппроксимации на отрезке ( [-0.5, 0.5] ). Погрешность аппроксимации при использовании полинома Тейлора может быть определена с помощью остаточного члена:

[
R_3(x) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!} x^4
]

где ( c ) находится в промежутке между 0 и ( x ). Для функции ( \sin(x) ) четвёртая производная ( f^{(4)}(x) = \sin(x) ). Таким образом:

[
|R_3(x)| \leq \frac{1}{4!} |x|^4
]

На отрезке ( [-0.5, 0.5] ) максимальное значение ( |x| = 0.5 ):

[
|R_3(x)| \leq \frac{1}{24} (0.5)^4 = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{384}
]

Таким образом, погрешность аппроксимации функции ( \sin(x) ) полиномом Тейлора порядка 3 на отрезке ( [-0.5, 0.5] ) составляет не более ( \frac{1}{384} ).