Ряд, о котором идет речь, представляет собой бесконечную сумму вида

[ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}. ]

Для исследования сходимости данного ряда, можно использовать несколько методов, таких как тесты на сходимость, например, тест сравнения или анализ поведения членов ряда.

Конвергенция: Ряд конвергентен для всех ( x ). Это можно показать, используя критерий абсолютной сходимости. Заметим, что ( |\sin(nx)| \leq 1 ), следовательно,

[ \left| \frac{\sin(nx)}{n} \right| \leq \frac{1}{n}. ]

Это означает, что наш ряд по абсолютной величине сравним с гармоническим рядом (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}), который расходится. Однако, так как функция (\sin(nx)) является периодической и осциллирующей, можно показать, что ряд действительно сходится, используя тесты для знаково-осциллирующих рядов, такие как тест Дирихле.

Сходимость при фиксированном ( x ): Для фиксированного значения (x) ряд сходится, и его сумма будет зависеть от значения (x).

Ряд (S(x)) связан с разложением функции в ряд Фурье. Рассмотрим периодическую функцию (f(x) = x) на интервале ([-π, π]). У этой функции разложение в ряд Фурье включает синусоидальные компоненты за счет асимметрии.

В частности, при (f(x) = x), разложение в ряд Фурье будет включать члены вида (\sin(nx)), которые дают вклад в сумму (S(x)).

Кроме того, ряд (S(x)) можно интерпретировать как составной элемент в определённых контекстах анализа, особенно в контексте теоремы о Фурье. Сумма (\sum \frac{\sin(nx)}{n}) является отлично обрабатываемой функцией и может быть представлена как определенный интеграл.

Таким образом, ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}) является конвергентным для всех (x) и имеет интересные свойства, связанные с теорией рядов Фурье. Его связь с разложением в ряд Фурье открывает дополнительные возможности для анализа периодических функций и их свойств.