Для нахождения максимальной площади прямоугольника, вписанного в окружность радиуса ( R ), давайте обозначим стороны прямоугольника как ( x ) и ( y ). Площадь прямоугольника будет равна:

[
S = x \cdot y
]

Так как прямоугольник вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности, который составляет ( 2R ). По теореме Пифагора у нас есть следующее соотношение:

[
x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2
]

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую. Например, выразим ( y ):

[
y = \sqrt{4R^2 - x^2}
]

Теперь подставим это в формулу площади:

[
S = x \cdot y = x \cdot \sqrt{4R^2 - x^2}
]

Чтобы найти максимальное значение площади ( S ), нам нужно взять производную по ( x ) и приравнять её к нулю. Сначала найдем ( S ):

[
S(x) = x \sqrt{4R^2 - x^2}
]

Используем правило произведения для нахождения производной ( S' ):

[
S' = \sqrt{4R^2 - x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{4R^2 - x^2}\right)
]

Вторая часть производной будет рассчитана по правилу цепной дифференциации:

[
\frac{d}{dx} \left(\sqrt{4R^2 - x^2}\right) = \frac{-x}{\sqrt{4R^2 - x^2}}
]

Таким образом, получим:

[
S' = \sqrt{4R^2 - x^2} + x \cdot \left(\frac{-x}{\sqrt{4R^2 - x^2}}\right)
]

[
S' = \sqrt{4R^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}
]

Объединив термины, получаем:

[
S' = \frac{(4R^2 - x^2) - x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} = \frac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}
]

Теперь приравняем производную к нулю:

[
4R^2 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 4R^2 \implies x^2 = 2R^2 \implies x = R\sqrt{2}
]

Теперь подставим значение ( x ) обратно для нахождения ( y ):

[
y = \sqrt{4R^2 - (R\sqrt{2})^2} = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}
]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника будет:

[
S_{max} = x \cdot y = R\sqrt{2} \cdot R\sqrt{2} = 2R^2
]

Теперь мы можем сделать вывод о том, что максимальная площадь прямоугольника, вписанного в окружность радиуса ( R ), составляет ( 2R^2 ), и это происходит, когда ( x = y = R\sqrt{2} ), что соответствует квадрату с сторонами, равными ( R\sqrt{2} ).

Оптимальность решения устанавливается следующим образом: поскольку мы нашли стационарную точку (приравняв производную к нулю) и учитывая, что ( S'' < 0 ) в данной окрестности (проверив знак второй производной), вытекает, что ( S ) достигает максимума в данной точке.