Для доказательства предела ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} ) с использованием геометрических неравенств рассмотрим единичную окружность и угол ( x ), измеряемый в радианах.

Обозначим радиус единичной окружности как 1. Пусть ( O ) — центр окружности, ( A ) — точка на окружности, соответствующая углу ( x ), и ( B ) — проекция точки ( A ) на ось ( x ).

Тогда длина дуги ( AB ) равна ( x ) (так как радиус единичной окружности равен 1, а длина дуги равна ( r\theta ), где ( r ) — радиус, а ( \theta ) — угол в радианах).

Теперь рассмотрим треугольник ( OAB ) и сектора ( OAB ):

Треугольник ( OAB ) имеет высоту ( OB = \sin x ) и основание ( OA = 1 ).Площадь треугольника ( OAB ) равна ( \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2} ).

Площадь сектора ( OAB ) равна ( \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{x}{2} ).

Теперь мы можем установить неравенство между площадью треугольника и сектора:
[
\text{Площадь треугольника } OAB < \text{Площадь сектора } OAB < \text{Площадь треугольника } OAC,
]
где ( C ) — точка, где касательная к окружности в точке ( A ) пересекает ось ( x ). Поскольку ( AC = \tan x ), площадь треугольника ( OAC ) равна ( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{\tan x}{2} ).

Таким образом, получаем:
[
\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2}.
]

Умножив все части неравенства на ( 2 ), получаем:
[
\sin x < x < \tan x.
]

Далее, используя ( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ), перепишем часть неравенства:
[
\sin x < x < \frac{\sin x}{\cos x}.
]
Разделим все части на ( \sin x ) (при ( x \to 0 ) ( \sin x > 0 )):
[
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
]

Теперь, инвертируем неравенство:
[
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
]

При ( x \to 0 ) (\cos x \to 1). Таким образом, по правилам пределов, мы имеем:
[
\lim{x \to 0} \cos x = 1,
]
что дает:
[
\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
]

Таким образом, получаем:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
]
Это завершает доказательство.