Интеграл произведения двух непрерывных функций ( f ) и ( g ) на отрезке ([a, b]) равен произведению их интегралов, если выполняются определённые условия.

В общем случае, интеграл произведения двух функций может быть равен произведению их интегралов, если либо одна из функций константна, либо обе функции совместимы по своему виду (например, одна из них является постоянной функцией, или функции можно разложить в ряд Тейлора и одна из них будет постоянной на заданном отрезке).

Однако, в большинстве случаев такой результат не верен. То есть:

[
\int_a^b f(x) g(x) \, dx \neq \int_a^b f(x) \, dx \cdot \int_a^b g(x) \, dx.
]

Важное исключение, когда это равенство выполняется — это случай, когда одна из функций равна нулю на любом подотрезке ([a, b]), поскольку в этом случае произведение будет равно нулю.

Если рассматривать случай, когда обе функции не являются нулевыми и одинаково конечными (то есть не имеют особых свойств, таких как непрерывность, дифференцируемость и т.д.), тогда нет гарантии, что интеграл произведения будет равен произведению интегралов.

Можно привести пример: возьмём функции ( f(x) = x ) и ( g(x) = x ) на отрезке ([0, 1]):

[
\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2},
]
[
\int_0^1 g(x) \, dx = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2},
]
[
\int_0^1 f(x) g(x) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}.
]

В данном случае:

[
\int_0^1 f(x) g(x) \, dx = \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
]

Таким образом, для произвольных непрерывных функций ( f ) и ( g ) в общем случае ( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \neq \int_a^b f(x) \, dx \cdot \int_a^b g(x) \, dx ).