Ряд Тейлора и ряд Лорана — это две разные формы разложения аналитических функций в окрестности точек.

Ряд Тейлора функции ( f(z) ) в точке ( a ) записывается так:

[
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n
]

Ряд Тейлора сходится в некоторой области вокруг точки ( a ) (диск радиуса ( R )), если ( f(z) ) аналитична в этой области. Эта область называется областью сходимости.

Ряд Лорана используется для разложения функций, которые имеют особые точки. Он имеет вид:

[
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n
]

где ( a_n ) — коэффициенты ряда. Ряд Лорана может сходиться в аннуле (внешнем кольце) между двумя радиусами ( r_1 ) и ( r_2 ) (то есть когда ( r_1 < |z - a| < r_2 )). Это важно, поскольку ряд Тейлора может не сходиться, если функция имеет особенности в окрестности ( a ).

Функция ( f(z) = \frac{1}{z} )

Ряд Тейлора в точке ( a = 1 ):
[
f(z) = \frac{1}{1 - (z - 1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (z - 1)^n
]
Этот ряд сходится при ( |z - 1| < 1 ).

Ряд Лорана:
Для этой функции в точке ( a = 0 ) можно записать ряд Лорана:
[
f(z) = \frac{1}{z} = \sum{n=-1}^{\infty} 0 \cdot (z - 0)^n + \sum{n=0}^{\infty} 0 \cdot (z - 0)^n + (z - 0)^{-1}
]
Этот ряд будет сходиться для ( |z| > 0 ).

Для этой функции ряд Тейлора не существует в окрестности ( a=0 ), так как функция не аналитична в этой точке (имеет полюс).

Функция ( f(z) = e^{1/z} )

Ряд Тейлора в точке ( a = 0 ):
Функция ( e^{1/z} ) не имеет разложения Тейлора в окрестности точки ( 0 ), так как она не аналитична в нуле (имеет полюс).

Ряд Лорана:
Для ( f(z) ) можно построить ряд Лорана в аннулированной области, где ( |z| < r ) (для малых ( z )):
[
e^{1/z} = \sum{n=0}^{\infty} \frac{(1/z)^n}{n!} = \sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}
]
Этот ряд будет сходиться для ( 0 < |z| < R ).

Эти примеры показывают, что ряд Тейлора и ряд Лорана могут различаться по области сходимости. Ряд Тейлора сходится в области, где функция аналитична, тогда как ряд Лорана может быть применен даже в случаях, когда обычный ряд Тейлора не существует из-за особенностей функции.