Интегральный тест сходимости для знакопеременных рядов может быть применен в том случае, если мы имеем дело с рядов вида

[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n
]

где ( a_n ) — положительная последовательность, и ({an}) монотонно убывает, а также , (\lim{n \to \infty} a_n = 0). В таком случае для проверки сходимости ряда можно использовать несобственный интеграл:

[
\int_1^\infty f(x) \, dx
]

где ( f(x) ) является подходящей функцией, связанной с последовательностью ( a_n ).

Условия примененияПоследовательность ( a_n ) должна быть положительной.Последовательность ( a_n ) должна быть ненарастающей (убывающей).Должно выполняться условие (\lim_{n \to \infty} a_n = 0).Функция ( f(x) ) должна быть такой, что интеграл (\int_1^\infty f(x) \, dx) сходится.Контрпример

Рассмотрим ряд следующего вида:

[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}
]

В этом случае ( a_n = \frac{1}{n} ), который удовлетворяет всем вышеуказанным условиям: ( a_n > 0 ), ( an ) убывает, и (\lim{n \to \infty} a_n = 0). Этот ряд является известным ряд сходимым (ряд Хармона, умноженный на ( (-1)^{n+1} ), сходится по критерию Лейбница).

Теперь рассмотрим ряд:

[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{1}{n^{1/2}}
]

Здесь ( an = \frac{1}{n^{1/2}} ) — снова положительная, убывающая последовательность, и (\lim{n \to \infty} a_n = 0).

Однако, если мы применим несобственный интеграл:

[
\int_1^\infty \frac{1}{x^{1/2}} \, dx
]

то получим:

[
\left[ 2x^{1/2} \right]_1^\infty = \infty
]

Интеграл расходится, следовательно, по интегральному тесту, ряд ( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{1}{n^{1/2}} ) также расходится, хотя условия для применения теста выполнены.

Таким образом, интегральный тест не всегда корректен для всех знакопеременных рядов, даже если их члены соответствуют условиям для применения теста, если функция ( f(x) ) не достигает условия интеграции. В этом случае других методов (например, теста Лейбница) было бы достаточно для проверки сходимости ряда.