Дифференциальное уравнение, которое вы рассматриваете, имеет вид:

[
y' = y^2
]

Начальное условие: ( y(0) = y_0 ).

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Перепишем уравнение следующим образом:

[
\frac{dy}{dx} = y^2
]

Разделим переменные:

[
\frac{1}{y^2} dy = dx
]

Теперь интегрируем обе стороны:

[
\int \frac{1}{y^2} dy = \int dx
]

Слева мы получаем:

[
-\frac{1}{y} = x + C
]

где ( C ) — произвольная константа интегрирования. Теперь выразим ( y ):

[
-\frac{1}{y} = x + C \implies y = -\frac{1}{x + C}
]

Теперь, задействовав начальное условие ( y(0) = y_0 ), находим константу ( C ):

[
y(0) = -\frac{1}{0 + C} = y_0 \implies C = -\frac{1}{y_0}
]

Таким образом, общее решение уравнения будет выглядеть следующим образом:

[
y = -\frac{1}{x - \frac{1}{y_0}} = -\frac{y_0}{y_0 x - 1}
]

Теперь рассмотрим поведение решения при конечном времени. Исследуем, когда решение может "взорваться", т.е. когда ( y \to \infty ).

Решение будет равно бесконечности, когда знаменатель становится равным нулю:

[
y_0 x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{y_0}
]

Таким образом, решение "взрывается" в точке ( x = \frac{1}{y_0} ).

Рассмотрим теперь поведение функции ( y(x) ):

Если ( y_0 > 0 ), то решение ведет себя так, что при ( x \to \frac{1}{y_0} ) значение ( y \to \infty ).Если ( y_0 < 0 ), решение при ( x \to \frac{1}{y_0} ) также будет стремиться к ( -\infty ).В случае ( y_0 = 0 ) решение будет ( y \equiv 0 ).

Таким образом, мы видим, что при положительном начальном условии ( y_0 > 0 ) существует конечный момент времени ( x = \frac{1}{y_0} ), по истечении которого решение становится бесконечным. Эта ситуация называется "взрывом" или "сингулярностью" решения.