Чтобы найти экстремумы функции ( f(x, y) = x^2 + y^2 ) при ограничении ( g(x, y) = x + y - 1 = 0 ) методом множителей Лагранжа, следуем следующим шагам:

Запись функции Лагранжа: Формируем функцию Лагранжа:
[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1)
]

Частные производные: Находим частные производные (\mathcal{L}) по (x), (y) и (\lambda) и приравниваем их к нулю:
[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \quad (1)
]
[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0 \quad (2)
]
[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0 \quad (3)
]

Решение системы уравнений: Теперь решаем систему уравнений, полученную из (1), (2) и (3).

Из уравнения (1):
[
\lambda = -2x
]

Подставим (\lambda) в (2):
[
2y - 2x = 0 \Rightarrow y = x \quad (4)
]

Теперь подставим (y = x) в уравнение (3):
[
x + x - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
]
Отсюда, используя (4):
[
y = \frac{1}{2}
]

Координаты точек экстремума: Мы нашли точку:
[
(x, y) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
]

Нахождение значения функции в точке экстремума: Подставим найденные значения в функцию (f):
[
f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
]

Определение типа экстремума: В данном случае, так как функция (f(x, y) = x^2 + y^2) является квадратичной и открытой вверх (оптимизация функции, которая имеет только минимум), мы можем сделать вывод, что точка (\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)) является точкой минимума с минимальным значением (\frac{1}{2}).

Таким образом, метод Лагранжа показал, что при заданном ограничении (x + y = 1) функция (f(x, y) = x^2 + y^2) имеет минимум в точке (\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)) с минимальным значением (\frac{1}{2}).