При численном решении уравнений, особенно с использованием метода итераций, можно столкнуться с несколькими источниками ошибок, которые могут привести к увеличению погрешности. Вот основные из них:

Округление и потеря точности: На каждом шаге вычисления выполняются операции с числовыми данными, которые могут приводить к округлению. При многократных итерациях эти округления могут накапливаться, создавая значительные ошибки.

Улучшение: Используйте числа с высокой точностью, такие как библиотеки для работы с плавающей запятой двойной точности или большие числа (например, Decimal в Python).

Сходимость итерационного метода: Некоторые численные методы имеют ограниченные области сходимости. Если начальное значение выбрано слишком далеко от истинного корня, это может привести к медленной сходимости или расходимости.

Улучшение: Анализируйте функцию и выбирайте более близкое к корню начальное приближение. Использование графиков функции может помочь в этом. Также стоит рассмотреть использование методов с гарантированной сходимостью, таких как метод Ньютона или секущих (если они подходят для данной задачи).

Численная стабильность: Некоторые алгоритмы могут быть численно нестабильными, то есть маленькие изменения в входных данных могут приводить к большим изменениям в результате.

Улучшение: Используйте более устойчивые алгоритмы или модифицируйте существующие методы для повышения их стабильности. Например, вместо прямого деления можно использовать методы, которые избегают деления на маленькие числа.

Количество итераций: Если число итераций слишком велико, это может привести к большому накоплению ошибок.

Улучшение: Определите условие остановки для итераций на основе изменения значения корня или других критериев (например, изменение значимости функции на текущей итерации), а также учитывайте разумный предел на количество итераций.

Моделирование погрешности: Часто не учитываются влияния погрешности при расчете, что может помешать определению областей сходимости и стабильности решения.

Улучшение: Разработайте методику оценки и контроля погрешностей, включая использование анализа чувствительности или проверки с использованием разных методов.

Неправильная дискретизация: Если мы производим дискретизацию функций (например, для численного интегрирования), может возникнуть ошибка.

Улучшение: Выберите более подходящие шаги и методы дискретизации, использующие адаптивные шаги или методы более высокого порядка.

Объединив эти рекомендации и внимательно анализируя каждую итерацию и источник ошибок, можно значительно снизить уровень погрешности при численном решении уравнений.