Для ряда функций ( f_n(x) ), определенных на отрезке ([0, 1]), использование пределов и интегралов может быть обосновано различными критериями сходимости. Основные из них включают:

1. Равномерная сходимость

Если последовательность функций ( fn(x) ) сходится равномерно к функции ( f(x) ) на отрезке ([0, 1]), т.е.
[
\lim{n \to \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |fn(x) - f(x)| = 0,
]
то можно утверждать, что
[
\lim{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx.
]
То есть, предел интеграла равен интегралу предела.

2. Теорема о мажорируемой сходимости (теорема Лебега)

Если ( f_n(x) ) сходится точечно к функции ( f(x) ) и существует мажорирующая функция ( g(x) ) такая, что ( |f_n(x)| \leq g(x) ) для всех ( n ) и ( x \in [0, 1] ), а ( g(x) ) интегрируема (т.е. ( \int0^1 g(x) \, dx < \infty )), то
[
\lim{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx.
]

3. Теорема Фатоу

Если ( fn(x) ) сходится к функции ( f(x) ) почти всюду на ([0, 1]) и последовательность функций является мажорируемой, то:
[
\liminf{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx \geq \int_0^1 f(x) \, dx.
]

Примеры, вводящие в заблуждение

Точечная сходимость без равномерной сходимости:
Рассмотрим функцию ( fn(x) = x^n ) на отрезке ([0, 1]). Мы имеем
[
\lim{n \to \infty} f_n(x) =
\begin{cases}
0, & x \in [0, 1) \
1, & x = 1
\end{cases}.
]
Эта сходится точечно к функции ( f(x) ), которая равна 0 на ([0, 1)) и 1 в точке 1. Однако
[
\int_0^1 fn(x) \, dx = \frac{1}{n+1},
]
и
[
\lim{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = 0,
]
в то время как
[
\int_0^1 f(x) \, dx = 0.
]
Здесь можно бы подумать, что сходимость точечная сохраняет интеграл, но в действительности это не так, и доля интеграла не сохраняется.

Пример с "непрерывными" функциями:
Пусть ( fn(x) = n \cdot \chi{[0, 1/n]}(x) ), где ( \chi ) - характеристическая функция. Тогда
[
\lim_{n \to \infty} fn(x) = 0 \text{ для } x > 0
]
и ( \lim{n \to \infty} f_n(0) = \infty ). Но интеграл:
[
\int_0^1 f_n(x) \, dx = 1,
]
независимо от ( n ). Однако в пределе интеграл уходит в ноль, и это также показывает, как точечная сходимость может вводить в заблуждение.

Таким образом, для надежного обоснования возможности менять предел и интеграл важно использовать соответствующие условия сходимости, такие как равномерная сходимость или теорему о мажорируемой сходимости.