Для решения задачи о нахождении всех натуральных чисел ( n ), для которых справедливо равенство ( 2^n + 1 \equiv 0 \mod n ), можно использовать как аналитические, так и экспериментальные подходы.

Аналитические подходы

Проверка малых значений n: Начнем с проверки малых натуральных чисел ( n ):

Если ( n = 1 ): ( 2^1 + 1 = 3 ) делится на ( 1 ).Если ( n = 2 ): ( 2^2 + 1 = 5 ) не делится на ( 2 ).Если ( n = 3 ): ( 2^3 + 1 = 9 ) делится на ( 3 ).Если ( n = 4 ): ( 2^4 + 1 = 17 ) не делится на ( 4 ).Если ( n = 5 ): ( 2^5 + 1 = 33 ) не делится на ( 5 ).Если ( n = 6 ): ( 2^6 + 1 = 65 ) не делится на ( 6 ).Если ( n = 7 ): ( 2^7 + 1 = 129 ) не делится на ( 7 ).Если ( n = 8 ): ( 2^8 + 1 = 257 ) не делится на ( 8 ).Если ( n = 9 ): ( 2^9 + 1 = 513 ) не делится на ( 9 ).Если ( n = 10 ): ( 2^{10} + 1 = 1025 ) не делится на ( 10 ).Если ( n = 11 ): ( 2^{11} + 1 = 2049 ) делится на ( 11 ).

Таким образом, мы нашли натуральные числа:

( n = 1 )( n = 3 )( n = 11 )

Модулярная арифметика: Рассмотрим условие ( 2^n + 1 \equiv 0 \mod n ). Это позволяет рассмотреть случаи, когда ( n ) является простым числом. Для простых ( p ), ( 2^p ) по малой теореме Ферма дает ( 2^p \equiv 2 \mod p ), тогда:
[
2^p + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \mod p.
]
Значит, если ( n ) - простое число ( p \neq 3 ), то ( 3 \not\equiv 0 \mod p ).

Свойства делимости:
Если ( n ) делит ( 2^n + 1 ), то ( n ) должно быть четным. Это видно из того, что ( 2^n + 1 ) для четного ( n ) дает нечетное число, следовательно, четные ( n ) не могут быть делителями.

Экспериментальные подходы

Компьютерный перебор: Используя программу, можно перебрать значительные значения ( n ) и проверить делимость ( 2^n + 1 ) на ( n ). Этот метод подходит для поиска больших значений.

Анализ остатка: Можно провести большее число вычислений для выявления закономерностей о том, каковы остатки при делении ( 2^n + 1 ).

Результаты

На данный момент, известные решения:

( n = 1 )( n = 3 )( n = 11 )

Возможно, существуют и другие решения, но они требуют дальнейшего глубокого анализа или компьютерного перебора для больших ( n ). Следует использовать теоремы о простых числах и свойства модуля, чтобы сужать поиск, и применять проверку для больше значений чисел.