Для анализа заданной рекурсивной последовательности ( a_n ) определим её свойства: монотонность и ограниченность.

1. Проверка монотонности

Начнем с того, что последовательно проверим, будет ли последовательность монотонно возрастающей.

Рекурсивное соотношение:

[
a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}
]

Теперь покажем, что ( a_{n+1} \geq a_n ) для всех ( n ).

Рассмотрим разность:

[
a_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n
]

Для анализа этой разности нам нужно показать, что она неотрицательна. Для этого возведем в квадрат обе стороны:

[
(\sqrt{2 + a_n} - a_n)^2 \geq 0
]

Раскрыв квадрат, получаем:

[
2 + a_n - 2a_n\sqrt{2 + a_n} + a_n^2 \geq 0
]

Это равносильно:

[
a_n^2 - 2a_n\sqrt{2 + a_n} + 2 \geq 0
]

Заметим, что при ( a_n \geq 0 ) (что верно, так как ( a_1 = 0 )), функция ( f(x) = \sqrt{2+x} ) является возрастающей. Проверим, что последовательность действительно возрастает:

Пусть ( an < a{n+1} ), тогда:

[
\sqrt{2 + a_n} > a_n
]

Возведем в квадрат неравенство:

[
2 + a_n > a_n^2
]

Это можно переписать как:

[
0 > a_n^2 - a_n - 2
]

Решим неравенство ( a_n^2 - a_n - 2 < 0 ) для нахождения интервала, где оно выполняется. Корни этого уравнения:

[
a_n^2 - a_n - 2 = 0 \implies a_n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
]

откуда ( a_n_1 = 2 ) и ( a_n_2 = -1 ). Следовательно, неравенство выполняется на интервале ( (-1, 2) ). Поскольку ( a_n \geq 0 ), мы получаем, что для всех ( n ):

[
a_n < 2
]

Таким образом, последовательность монотонно возрастает.

2. Ограниченность

Теперь покажем, что последовательность ограничена сверху.

Мы уже заметили, что из начального условия ( a_1 = 0 ) и свойства неоднородности, ( a_n < 2 ) для всех ( n ).

Итак, последовательность ( a_n ) монотонно возрастает и ограничена сверху (все ( a_n < 2 )).

3. Сходимость

Так как ( a_n ) монотонно возрастает и ограничена сверху, по теореме о монотонных последовательностях, ( a_n ) сходится.

4. Поиск предела

Обозначим предел последовательности как ( L ):

[
L = \sqrt{2 + L}
]

Возведем обе стороны в квадрат:

[
L^2 = 2 + L \implies L^2 - L - 2 = 0
]

Решим квадратное уравнение:

[
L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
]

Это дает два корня: ( L = 2 ) и ( L = -1 ). Поскольку ( a_n ) не может быть отрицательным, мы получаем:

[
L = 2
]

Заключение

Таким образом, последовательность ( a_n ) монотонно возрастает и ограничена сверху, что подразумевает её сходимость к пределу ( L = 2 ).

Утверждение "последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, сходится" является верным.