Чтобы рассмотреть задачу возведения матрицы ( A ) в степень ( n ) для матрицы ( 3 \times 3 ) с единственным собственным значением ( \lambda ) кратности 3, нужно обратить внимание на то, в какой форме матрица представлена: диагонализированная форма или жорданова нормальная форма.

1. Диагонализация

Матрицу ( A ) можно диагонализировать, если она имеет три линейно независимых собственных вектора. Однако в этом случае мы говорим о том, что ( A ) имеет более одного собственного значения, что противоречит условию о наличии единственного собственного значения. Если ( A ) не имеет трех линейно независимых собственных векторов, то мы не можем использовать диагонализацию.

2. Жорданова нормальная форма

В данном случае, когда существует одно собственное значение ( \lambda ) с кратностью 3 и недостаточно независимых собственных векторов (т.е. есть одна собственная составляющая), к матрице ( A ) будет применена жорданова нормальная форма.

Собственная матрица будет иметь вид:

[
J = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 \
0 & \lambda & 1 \
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
]

Для возведения матрицы ( A ) в степень ( n ) с помощью жордановой формы используется формула:

[
A^n = P J^n P^{-1}
]

где ( J^n ) считается для жордановой матрицы, и формула для вычисления жордановой матрицы выглядит следующим образом:

[
J^n = \begin{pmatrix}
\lambda^n & n \lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2} \lambda^{n-2} \
0 & \lambda^n & n \lambda^{n-1} \
0 & 0 & \lambda^n
\end{pmatrix}
]

Как видим, жорданова матрица приводит к полиномиальным членам, учитывающим ( \lambda ) и номера индексов, что делает вычисления более сложными, чем в случае диагонализации.

3. Критические числа и векторы для численной устойчивости

При возведении матрицы в степень критическое значение – это собственное значение ( \lambda ). Если ( |\lambda| > 1 ), то матрица ( A^n ) будет расти экспоненциально. Если ( |\lambda| < 1 ), то матрица будет стремиться к нулю, а если ( |\lambda| = 1 ), то у вас будет наблюдаться колебание.

Важно также оценить собственные векторы и присоединённые векторы. Наличие унитарных или ортогональных собственных векторов будет способствовать устойчивости вычислений, в то время как наличие приближенных значений собственных векторов может привести к численным проблемам из-за огромных значений.

Вывод

Для вычисления ( A^n ) удобнее использовать жорданову нормальную форму, если матрица имеет одно собственное значение кратности 3 и недостаточное количество линейно независимых собственных векторов. Критические моменты, связанные с численной устойчивостью, включают анализ собственного значения ( \lambda ) и качество собственных и присоединённых векторов, так как они влияют на поведение матрицы при больших ( n ).