Идея: раскрыть модуль как два уравнения
x^2 − a x = 1 и x^2 − a x = −1,
и посчитать число различных действительных корней каждого из них. Эти уравнения — квадратичные, их число действительных корней определяется дискриминантами; общих корней между ними быть не может (одно и то же x не может одновременно давать 1 и −1).

1) Для x^2 − a x − 1 = 0 дискриминант
D1 = a^2 + 4 > 0 для всех a, значит это уравнение всегда даёт ровно 2 различных действительных корня.

2) Для x^2 − a x + 1 = 0 дискриминант
D2 = a^2 − 4.

Если D2 > 0 (|a| > 2), то второе уравнение даёт 2 различных корня, всего 2 + 2 = 4 корня.Если D2 = 0 (|a| = 2), то второе уравнение даёт один (кратный) корень, всего 2 + 1 = 3 различных корня.Если D2 < 0 (|a| < 2), то второго уравнения нет, всего 2 корня.

Граничные случаи: a = 2 и a = −2 — парабола y = x^2 − a x касается прямой y = −1 (кратный корень), поэтому ровно один дополнительный корень от второго уравнения и в сумме три различных корня. При |a| = 2 эти двойные корни действительно отличаются от двух корней первого уравнения (невозможно, чтобы корень одновременно удовлетворял обоим уравнениям).

Ответ: ровно при a = 2 и a = −2 уравнение |x^2 − a x| = 1 имеет ровно три различных действительных корня.