Тезис. В треугольнике ABC медианы пересекаются в одной точке G (центроид), причём каждая медиана делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины (т. е. AG:GM = 2:1, если M — середина противоположной стороны).

Дадим три разных доказательства: векторное, через барицентр (массы) и координатное, и кратко обсудим их достоинства.

1) Векторное доказательство.
Пусть O — произвольный начальный пункт, обозначим радиус-векторы вершин a = →OA, b = →OB, c = →OC. Середина BC имеет радиус-вектор m = (b + c)/2. Рассмотрим точку G с радиус-вектор
g = (a + b + c)/3.
Проверим, что G лежит на медиане AM и и делит её в отношении 2:1 от вершины A:
→AG = g − a = (a + b + c)/3 − a = (−2a + b + c)/3 = 2·((b + c)/2 − a)/3 = (2/3)·→AM.
Значит AG = (2/3) AM, а GM = AM − AG = (1/3) AM, т.е. AG:GM = 2:1. Аналогично G лежит на медианах из B и C (симметрично), следовательно все три медианы пересекаются в одной и той же точке g. Уникальность очевидна: две непараллельные прямые пересекаются в одной точке, а третья проходит через найденную G.

2) Доказательство через барицентр / метод масс.
Положим в вершины A, B, C массы mA = mB = mC = 1. Центр масс (барицентр) всей системы — точка G, для которой координаты (или положение) равны среднему арифметическому положений вершин — это та же точка g = (a + b + c)/3. Физически центр масс системы из трёх одинаковых точечных масс лежит на отрезке, соединяющем вершину A с центром масс двух других масс (серединой BC); поскольку на этом отрезке центр масс всей системы располагается ближе к вершинам, легко вычислить доли: масса в точке A равна 1, масса системы в середине BC равна 2, значит G делит отрезок AM в отношении 2:1 (расстояние от A обратно пропорционально сумме масс на другой стороне): AG:GM = 2:1. Аналогично для других медиан. Следовательно медианы пересекаются в единой точке G. (Это — неформальное, но стандартное и очень наглядное доказательство методом масс.)

3) Координатное (аналитическое) доказательство.
Возьмём декартовы координаты и положим вершины A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Середина BC имеет координаты M(((x2+x3)/2), ((y2+y3)/2)). Уравнение медианы из A — параметрическое: A + t( M − A ), t∈R.
Аналогично медиана из B: B + s( N − B ), где N — середина AC.
Найдём точку пересечения решением системы; проще заметить, что точка G с координатами
G( (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )
лежит на медиане из A, поскольку вектор →AG = ( (−2x1+x2+x3)/3, (−2y1+y2+y3)/3 ) = (2/3)·→AM, то есть AG = (2/3)AM. Следовательно G лежит и на двух других медианах и делит каждую в отношении 2:1. Это даёт явное выражение координат центра тяжести и завершает доказательство.

Краткое обсуждение преимуществ методов.

Векторный метод: компактный и «координатно-независимый» (работает в любой аффинной системе и в пространстве любых размерностей). Удобен для абстрактных рассуждений и для обобщений (например, для медиан в тетраэдре и т.п.). Требует знания векторной алгебры/аффинных комбинаций.

Метод барицентра / масс: очень интуитивен и даёт физический смысл центроиду как центра масс. Удобен при решении задач на отрезки, отношения и при масс-методе (mass points) — быстро позволяет находить отношения отрезков без вычислений. Минус — менее строг в формальном смысле, если не вводить понятие центра масс формально; однако для планиметрии это общепринято.

Координатный (аналитический) метод: прямолинейный и вычислительно явный, даёт формулы координат центра (среднее арифметическое координат вершин). Удобен, когда нужно получить конкретные численные координаты или применять к задачам с вычислениями. Минус — иногда громоздок и зависит от выбора системы координат (хотя часто можно выбрать удобную систему).

Дополнительная геометрическая заметка (синтетическая): через гомотетию — медиана является лучом гомотетии с центром в G и коэффициентом −1/2, переводящей треугольник ABC в его серединный треугольник; это даёт чисто геометрическое объяснение деления 2:1 и связи центра с серединами сторон.

Итого: все три способа показывают, что медианы имеют одну общую точку G, задаваемую как среднее арифметическое вершин, и что она делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.